Question

9．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD
（1）在图中画出过点B，D的平面α，使得α∥平面AEF（必须说明画法，不需证明）；
（2）若二面角α-BD-C是45°，求FB与平面α所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）分别取EC，FC的中点G，H，连接GD，BH，HG，则四边形BHGD所确定的平面为平面α；
（2）取EF的中点N，连接AC交BD于点O，连接ON，由四边形BDEF为矩形，O，N分别为BD，EF的中点，可得ON∥ED．由面面垂直的性质可得ED⊥平面ABCD，进一步得到ON⊥平面ABCD．再由ABCD为菱形，可得AC⊥BD．以O为原点，OB，OC，ON所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系．然后利用空间向量求FB与平面α所成角的正弦值．

解答 解：（1）如图所示，分别取EC，FC的中点G，H，
连接GD，BH，HG，四边形BHGD所确定的平面为平面α．
（2）取EF的中点N，连接AC交BD于点O，连接ON，
∵四边形BDEF为矩形，O，N分别为BD，EF的中点，
∴ON∥ED．
∵平面BDEF⊥平面ABCD，
∴ED⊥平面ABCD，则ON⊥平面ABCD．
∵ABCD为菱形，即AC⊥BD．
以O为原点，OB，OC，ON所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系．
∵平面α∥平面AEF，∴BF与平面α所成的角可以转化为BF与平面AEF所成的角，则平面AEF与平面ABCD所成角为45°．
设FB=a，则A（0，$-\sqrt{3}$，0），E（-1，0，a），F（1，0，a），$\overrightarrow{AE}=（-1，\sqrt{3}，a）$，$\overrightarrow{AF}=（1，\sqrt{3}，a）$，B（1，0，0），
设平面AEF的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=-x+\sqrt{3}y+az=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=x+\sqrt{3}y+az=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{n}=（0，-\frac{a}{\sqrt{3}}，1）$．
易看出$\overrightarrow{m}=（0，0，1）$是平面ABCD的一个法向量，依题得$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{1}{\sqrt{\frac{{a}^{2}}{3}+1}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得a=$\sqrt{3}$．
∴$\overrightarrow{n}=（0，-1，1）$，又$\overrightarrow{BF}=（0，0，\sqrt{3}）$，∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BF}$＞=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即FB与平面α所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查线面角的求法，训练了利用空间向量求线面角，是中档题．