Question

2．如图，已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{1}{2}$，F为椭圆C的右焦点．A（-a，0），|AF|=3．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，P为椭圆上一点，AP的中点为M．直线OM与直线x=4交于点D，过O且平行于AP的直线与直线x=4交于点E．求证：∠ODF=∠OEF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：a=2c，a+c=3，求得a与c的值，则b²=a²-c²，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）解法一：设AP的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式求得M坐标，求得直线OM的方程，分别取得D和E点坐标，则EF⊥OM，DF⊥OE，在Rt△EHO和Rt△DGO中，∠ODF和∠OEF都与∠EOD互余，即可求得∠ODF=∠OEF；
方法二：分别表示出M，D和E点坐标，求得EF和OM的斜率，由k_OM•k_EF=-1，则EF⊥OM，讨论证明DF⊥OE在，则Rt△EHO和Rt△DGO中，∠ODF和∠OEF都与∠EOD互余，即可求得∠ODF=∠OEF．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c．椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，丨AF丨=a+c=3，
解得 a=2，c=1．
所以 b²=a²-c²=3，
所以椭圆C的方程是 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．[（4分）]
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得 A（-2，0）．设AP的中点M（x₀，y₀），P（x₁，y₁）．
设直线AP的方程为：y=k（x+2）（k≠0），
将其代入椭圆方程，整理得（4k²+3）x²+16k²x+16k²-12=0，[（6分）]
所以 $-2+{x_1}=\frac{{-16{k^2}}}{{4{k^2}+3}}$．[（7分）]
所以 ${x_0}=\frac{{-8{k^2}}}{{4{k^2}+3}}$，${y_0}=k（{x_0}+2）=\frac{6k}{{4{k^2}+3}}$，
即 $M（\frac{{-8{k^2}}}{{4{k^2}+3}}，\frac{6k}{{4{k^2}+3}}）$．[（8分）]
所以直线OM的斜率是 $\frac{{\frac{6k}{{4{k^2}+3}}}}{{\frac{{-8{k^2}}}{{4{k^2}+3}}}}=-\frac{3}{4k}$，[（9分）]
所以直线OM的方程是 $y=-\frac{3}{4k}x$．令x=4，得$D（4，-\frac{3}{k}）$．[（10分）]
直线OE的方程是 y=kx．令x=4，得E（4，4k）．[（11分）]
由F（1，0），得直线EF的斜率是 $\frac{4k}{4-1}=\frac{4k}{3}$，所以EF⊥OM，记垂足为H；
因为直线DF的斜率是 $\frac{{-\frac{3}{k}}}{4-1}=-\frac{1}{k}$，所以DF⊥OE，记垂足为G．[（13分）]
在Rt△EHO和Rt△DGO中，∠ODF和∠OEF都与∠EOD互余，
所以∠ODF=∠OEF．[（14分）]
解法二：由（Ⅰ）得 A（-2，0）．设P（x₁，y₁）（x₁≠±2），其中$3x_1^2+4y_1^2-12=0$．
因为AP的中点为M，所以 $M（\frac{{{x_1}-2}}{2}，\frac{y_1}{2}）$．[（6分）]
所以直线OM的斜率是 ${k_{OM}}=\frac{y_1}{{{x_1}-2}}$，[（7分）]
所以直线OM的方程是 $y=\frac{y_1}{{{x_1}-2}}x$．令x=4，得$D（4，\frac{{4{y_1}}}{{{x_1}-2}}）$．[（8分）]
直线OE的方程是 $y=\frac{y_1}{{{x_1}+2}}x$．令x=4，得$E（4，\frac{{4{y_1}}}{{{x_1}+2}}）$．[（9分）]
由F（1，0），得直线EF的斜率是 ${k_{EF}}=\frac{{4{y_1}}}{{3（{x_1}+2）}}$，[（10分）]
因为 ${k_{EF}}•{k_{OM}}=\frac{{4{y_1}}}{{3（{x_1}+2）}}•\frac{y_1}{{{x_1}-2}}=\frac{4y_1^2}{3（x_1^2-4）}=-1$，
所以EF⊥OM，记垂足为H；[（12分）]
同理可得 ${k_{DF}}•{k_{OE}}=\frac{{4{y_1}}}{{3（{x_1}-2）}}•\frac{y_1}{{{x_1}+2}}=\frac{4y_1^2}{3（x_1^2-4）}=-1$，
所以DF⊥OE，记垂足为G．[（13分）]
在Rt△EHO和Rt△DGO中，∠ODF和∠OEF都与∠EOD互余，
所以∠ODF=∠OEF．[（14分）]

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．