Question

4．若函数f（x）=e^x（sinx+acosx）在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1]
• B． （-∞，1）
• C． [1，+∞）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 f（x）=e^x（sinx+acosx）在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上单调递增，求导，分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可．

解答 解：∵f（x）=e^x（sinx+acosx）在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上单调递增，
∴f′（x）=e^x[（1-a）sinx+（1+a）cosx]≥0在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上恒成立，
∵e^x＞0在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上恒成立，
∴（1-a）sinx+（1+a）cosx≥0在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上恒成立，
∴a（sinx-cosx）≤sinx+cosx在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上恒成立
∴a≤$\frac{sinx+cosx}{sinx-cosx}$，
设g（x）=$\frac{sinx+cosx}{sinx-cosx}$，
∴g′（x）=$\frac{-2}{（sinx-cosx）^{2}}$＜0在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上恒成立，
∴g（x）在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上单调递减，
∴g（x）＞g（$\frac{π}{2}$）=1，
∴a≤1，
故选：A．

点评 本题考查了导数和函数的单调性和最值得关系，关键是分离参数，构造函数，属于中档题．