Question

17．已知f（x）=1-lnx-$\frac{1}{8}$x²
（Ⅰ）求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）求曲线f（x）的切线的斜率及倾斜角α的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，确定切线的斜率，即可求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（2）求导数，确定切线的斜率及倾斜角α的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=1-lnx-$\frac{1}{8}$x²，
∴f′（x）=-$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{4}$x，
x=1时，f′（1）=-$\frac{5}{4}$，f（1）=$\frac{7}{8}$，
∴曲线f（x）在x=1处的切线方程为y-$\frac{7}{8}$=-$\frac{5}{4}$（x-1），即10x+8y-17=0；
（2）x＞0，f′（x）=-$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{4}$x≤-1，
∴曲线C在点P处切线的斜率为-$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{4}$x，倾斜角α的取值范围为（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$]．

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．