Question

7．如图，点A（2，0），直线l垂直y轴，垂足为点B，线段AB的垂直平分线与l相交于点C，
（Ⅰ）求点C的轨迹方程；
（Ⅱ）若P为点C的轨迹上的一动点，Q为抛物线x²=y-4上的一动点，O为坐标原点，求△OPQ面积的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直接法，即可求点C的轨迹方程；
（Ⅱ）求出直线OQ：（t²+4）x-ty=0，P到直线OQ的距离，表示面积，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）设C（x，y），则|BC|=|x|，
由题意，|AC|=|BC|，∴$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$=|x|，
化简得点C的轨迹方程为y²=4（x-1）；
（Ⅱ）设P（s²+1，2s），Q（t²，t+4），则直线OQ：（t²+4）x-ty=0，
P到直线OQ的距离h=$\frac{|（{t}^{2}+4）（{s}^{2}+1）-2ts|}{\sqrt{（{t}^{2}+4）^{2}+{t}^{2}}}$，
∴S_△OPQ=$\frac{1}{2}|OQ|h$=$\frac{1}{2}$|（t²+4）（s²+1）-2ts|=$\frac{1}{2}$|s²t+²3s²+（s-t）²+4|≥2，
当且仅当s=t=0时，取等号，∴△OPQ面积的最小值为2．

点评 本题考查轨迹方程，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．