Question

18．已知函数$f（x）=x+\frac{1}{e^x}$，若对任意x∈R，f（x）＞ax恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1-e）
• B． （1-e，1]
• C． [1，e-1）
• D． （e-1，+∞）

Answer 1

分析 根据题意，不等式x+$\frac{1}{{e}^{x}}$＞ax恒成立化为$\frac{1}{{e}^{x}}$＞（a-1）x恒成立；
设g（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$，h（x）=（a-1）x，x∈R；
在同一坐标系内画出两个函数的图象，满足不等式恒成立的是h（x）的图象在g（x）图象下方，
求出过原点的g（x）的切线方程，得出切线斜率k，从而求出a的取值范围．

解答 解：函数$f（x）=x+\frac{1}{e^x}$，对任意x∈R，f（x）＞ax恒成立，
∴x+$\frac{1}{{e}^{x}}$＞ax恒成立，
即$\frac{1}{{e}^{x}}$＞（a-1）x恒成立；
设g（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$，h（x）=（a-1）x，x∈R；
在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示；
则满足不等式恒成立的是h（x）的图象在g（x）图象下方，
求g（x）的导数g′（x）=-e^-x，
且过g（x）图象上点（x₀，y₀）的切线方程为
y-y₀=-${e}^{{-x}_{0}}$（x-x₀），
且该切线方程过原点（0，0），
则y₀=-${e}^{{-x}_{0}}$•x₀，
即${e}^{{-x}_{0}}$=-${e}^{{-x}_{0}}$•x₀，
解得x₀=-1；
∴切线斜率为k=-${e}^{{-x}_{0}}$=-e，
∴应满足0≥a-1＞-e，
∴1-e＜a≤1，
∴实数a的取值范围是（1-e，1]．
故选：B．

点评 本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了利用导数求函数的切线问题，是综合性题目．