Question

16．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=$\frac{1}{2}$，2S_n-S_nS_n-1=1（n≥2）．
（1）猜想S_n的表达式，并用数学归纳法证明；
（2）设b_n=$\frac{n{a}_{n}}{1+30{a}_{n}}$，n∈N^*，求b_n的最大值．

Answer 1

分析 （1）由S₁=a₁=$\frac{1}{2}$，2S_n=S_nS_n-1+1（n≥2），通过计算可求得S₁，S₂，S₃；可猜想S_n=$\frac{n}{n+1}$，再利用数学归纳法证明即可．
（2）求出b_n=$\frac{1}{n+\frac{30}{n}+1}$，n∈N*，构造函数f（n）=x+$\frac{30}{x}$，则利用函数的单调性即可求出．

解答 解：（1）∵S₁=a₁=$\frac{1}{2}$，2S_n=S_nS_n-1+1（n≥2），
∴2S₂=S₂S₁+1=$\frac{1}{2}$S₂+1，
∴S₂=$\frac{2}{3}$；
∴2S₃=S₃S₂+1=$\frac{2}{3}$S₃+1，
∴S₃=$\frac{3}{4}$；
由S₁=$\frac{1}{2}$，S₂=$\frac{2}{3}$，S₃=$\frac{3}{4}$，可猜想S_n=$\frac{n}{n+1}$；
证明：①当n=1时，S₁=$\frac{1}{2}$，等式成立；
②假设n=k时，S_k=$\frac{k}{k+1}$，
则n=k+1时，∵2S_k+1=S_k+1•S_k+1=$\frac{k}{k+1}$•S_k+1+1，
∴（2-$\frac{k}{k+1}$）S_k+1=1，
∴S_k+1=$\frac{k+1}{k+2}$=$\frac{k+1}{（k+1）+1}$，
即n=k+1时，等式也成立；
综合①②知，对任意n∈N^*，均有S_n=$\frac{n}{n+1}$
（2）由（1）可知，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n}{n+1}$-$\frac{n-1}{n}$=$\frac{1}{n（n+1）}$，
当n=1时，a₁=$\frac{1}{1×2}$=$\frac{1}{2}$满足上式，
∴a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$，
∴b_n=$\frac{n{a}_{n}}{1+30{a}_{n}}$=$\frac{n}{{n}^{2}+n+30}$=$\frac{1}{n+\frac{30}{n}+1}$，n∈N*，
设f（n）=x+$\frac{30}{x}$，则有f（x）在（0，$\sqrt{30}$）上为减函数，在（$\sqrt{30}$，+∞）为增函数，
∵n∈N*，且f（5）=f（6）=11，
∴当n=5或n=6时，b_n有最大值$\frac{1}{12}$

点评 本题考查数学归纳法以及函数的单调性，计算S₁，S₂，S₃并猜想S_n=$\frac{n}{n+1}$是关键，考查计算与推理证明的能力，属于中档题