在${({3\sqrt{x}+\frac{1}{x}})^n}$的展开式中.各项系数的和为p.其二项式系数之和为q.若64是p与q的等比中项.则n=4．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

19．在${（{3\sqrt{x}+\frac{1}{x}}）^n}$的展开式中，各项系数的和为p，其二项式系数之和为q，若64是p与q的等比中项，则n=4．

分析令二项式中的x=1得展开式中各项系数和，
根据二项式系数和公式得到二项式系数和为2ⁿ，列出方程求解即可．

解答解：${（{3\sqrt{x}+\frac{1}{x}}）^n}$的展开式中，
令二项式中的x=1得到展开式中的各项系数的和为p=4ⁿ，
又各项二项式系数的和为q=2ⁿ，
根据题意得pq=4ⁿ•2ⁿ=64²，
解得n=4．
故答案为：4．

点评本题考查了求二项展开式的系数和与二项式系数和问题，是基础题．

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