Question

9．已知数列{a_n}，{b_n}中，a₁=2，b₁=1，当n≥2时，a_n-a_n-1=1，$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=2．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$+（-n）•b_n，求{c_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）运用等差数列和等比数列的定义和通项公式即可得到所求通项公式；
（2）c_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$+（-n）•b_n=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$+（-n）•2^n-1=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$+（-n）•2^n-1；运用数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和以及错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）数列{a_n}，{b_n}中，a₁=2，b₁=1，
当n≥2时，a_n-a_n-1=1，$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=2．
可得{a_n}为首项为2，公差为1的等差数列，
可得a_n=2+n-1=n+1；
可得{b_n}为首项为1，公差为2的等比数列，
可得b_n=2^n-1；
（2）c_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$+（-n）•b_n=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$+（-n）•2^n-1
=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$+（-n）•2^n-1；
则{c_n}的前n项和为$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$+[（-1）•2⁰+（-2）•2¹+…+（-n）•2^n-1]，
令T_n=（-1）•2⁰+（-2）•2¹+…+（-n）•2^n-1，
2T_n=（-1）•2¹+（-2）•2²+…+（-n）•2ⁿ，
两式相减可得-T_n=-1+（-1）（2¹+…+2^n-1）-（-n）•2ⁿ
=-1-$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（-n）•2ⁿ，
可得T_n=（1-n）•2ⁿ-1，
则{c_n}的前n项和为$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$+（1-n）•2ⁿ-1=-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$+（1-n）•2ⁿ．

点评 本题考查等差数列和等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和以及错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．