Question

20．如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB，E，F分别为PB，PD的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面PBD；
（Ⅱ）求异面直线PC与AE所成角的余弦值；
（Ⅲ）若平面AEF与棱PC交于点M，求$\frac{PM}{PC}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设AC∩BD=O，则O为底面正方形ABCD中心．连接PO，推导出PO⊥AC，BD⊥AC，由此能证明AC⊥平面PBD．
（Ⅱ）由OA，OB，OP两两互相垂直，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出异面直线PC与AE所成角的余弦值．
（Ⅲ）连接AM．设 $\frac{PM}{PC}=λ$，其中 λ∈[0，1]，求出平面AEMF的法向量，利用向量法能求出$\frac{PM}{PC}=\frac{1}{3}$．

解答 （本小题满分14分）
证明：（Ⅰ）设AC∩BD=O，则O为底面正方形ABCD中心．连接PO．
因为 P-ABCD为正四棱锥，
所以 PO⊥平面ABCD．（1分）
所以 PO⊥AC．（2分）
又 BD⊥AC，且PO∩BD=O，（3分）
所以 AC⊥平面PBD．（4分）
（Ⅱ）因为OA，OB，OP两两互相垂直，
如图建立空间直角坐标系O-xyz．（5分）
因为 PB=AB，所以 Rt△POB≌Rt△AOB．
所以 OA=OP．（6分）
设 OA=2．
所以 A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），
D（0，-2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F（0，-1，1）．
所以 $\overrightarrow{AE}$=（-2，1，1），$\overrightarrow{PC}$=（-2，0，-2）．（7分）
所以|cos＜$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{PC}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{PC}|}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{PC}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
即异面直线PC与AE所成角的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．（9分）
（Ⅲ）连接AM．设 $\frac{PM}{PC}=λ$，其中 λ∈[0，1]，
则 $\overrightarrow{PM}$=$λ\overrightarrow{PC}$=（-2λ，0，-2λ），（10分）
所以$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PM}$=（-2-2λ，0，2-2λ）．
设平面AEMF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），又$\overrightarrow{AF}$=（-2，-1，1），
所以$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{-2x+y+z=0}\\{-2x-y+z=0}\end{array}}\right.$
所以 y=0．令x=1，z=2，所以$\overrightarrow{n}$=（1，0，2）．（12分）
因为 AM?平面AEF，所以$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}$=0，（13分）
即-2-2λ+2（2-2λ）=0，
解得 $λ=\frac{1}{3}$，所以$\frac{PM}{PC}=\frac{1}{3}$．（14分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的求法，考查线段比值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，考查运用意识，是中档题．