Question

7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若函数f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx（x∈R）的最大值为a₁，且满足a_n-a_nS_n+1=$\frac{{a}_{1}}{2}$-a_nS_n，则数列{a_n}的前2017项之积A₂₀₁₇=2．

Answer 1

分析 函数f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2$sin（x+\frac{π}{3}）$≤2，可得a₁=2．由a_n-a_nS_n+1=$\frac{{a}_{1}}{2}$-a_nS_n，可得a_n=1+a_na_n+1，n≥2时，a_n-1a_na_n+1=a_n-1a_n-a_n-1=-1．即可得出数列{a_n}的前2017项之积A₂₀₁₇=A_672×3+1．

解答 解：函数f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2$sin（x+\frac{π}{3}）$≤2，∴a₁=2．
∵a_n-a_nS_n+1=$\frac{{a}_{1}}{2}$-a_nS_n，∴a_n=1+a_n（S_n+1-S_n），∴a_n=1+a_na_n+1，
∴a_na_n+1=a_n-1，
∴n≥2时，a_n-1a_na_n+1=a_n-1a_n-a_n-1=-1．
∴数列{a_n}的前2017项之积A₂₀₁₇=A_672×3+1=a₁×（-1）⁶⁷²=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了数列递推关系、三角函数求值、法则求积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．