Question

18．为了了解甲、乙两所学校全体高三年级学生在该地区八校联考中的数学成绩情况，从两校各随机抽取60名学生，将所得样本作出频数分布统计表如下：
甲校：

分组	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）
频数	2	5	9	10
分组	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150]
频数	14	10	6	4

乙校：

分组	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）
频数	2	4	8	16
分组	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150]
频数	15	6	6	3

以抽样所得样本数据估计总体
（1）比较甲、乙两校学生的数学平均成绩的高低；
（2）若规定数学成绩不低于120分为优秀，从甲、乙两校全体高三学生中各随机抽取2人，其中数学成绩为优秀的共X人，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）计算甲、乙的平均数，比较即可得出结论；
（2）由题意知，甲、乙两校学生的优秀率分别为$\frac{1}{4}$、$\frac{1}{3}$，X的可能取值是0，1，2，3，4；计算对应的概率，写出X的分布列，求出数学期望值．

解答 解：（1）计算甲的平均数为
$\overline{{x}_{甲}}$=$\frac{1}{60}$×（75×2+85×4+95×8+105×16+115×15+125×6+135×6+145×3）=110.8，…（2分）
乙的平均数为
$\overline{{x}_{乙}}$=$\frac{1}{60}$×（75×2+85×5+95×9+105×10+115×14+125×10+135×6+145×4）=112.2；…（4分）
所以乙校学生的数学平均成绩高于甲校；…（5分）
（2）由上表可知，甲、乙两校学生的优秀率分别为$\frac{1}{4}$、$\frac{1}{3}$，
X=0，1，2，3，4；…（6分）
P（X=0）=${（\frac{3}{4}）}^{2}$×${（\frac{2}{3}）}^{2}$=$\frac{36}{144}$，P（X=1）=${C}_{2}^{1}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{1}{4}$•${（\frac{2}{3}）}^{2}$+${C}_{2}^{1}$•${（\frac{3}{4}）}^{2}$•$\frac{1}{3}$•$\frac{2}{3}$=$\frac{60}{144}$，
P（X=2）=${（\frac{3}{4}）}^{2}$×${（\frac{1}{3}）}^{2}$+${（\frac{1}{4}）}^{2}$×${（\frac{2}{3}）}^{2}$+${C}_{2}^{1}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{1}{4}$•${C}_{2}^{1}$•$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{3}$=$\frac{37}{144}$，
P（X=3）=${（\frac{1}{4}）}^{2}$•${C}_{2}^{1}$•$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{3}$+${C}_{2}^{1}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{1}{4}$•${（\frac{1}{3}）}^{2}$=$\frac{10}{144}$，
P（X=4）=${（\frac{1}{4}）}^{2}$×${（\frac{1}{3}）}^{2}$=$\frac{1}{144}$；
所以X的分布列为：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{36}{144}$	$\frac{60}{144}$	$\frac{37}{144}$	$\frac{10}{144}$	$\frac{1}{144}$

…（10分）
数学期望为E（X）=0×$\frac{36}{144}$+1×$\frac{60}{144}$+2×$\frac{37}{144}$+3×$\frac{10}{144}$+4×$\frac{1}{144}$=$\frac{7}{6}$．…（12分）

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是基础题．