Question

10．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.（t$为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₁的极坐标方程为$ρ=\sqrt{6}$．
（1）写出直线l的普通方程和曲线C₁的参数方程；
（2）若将曲线C₁上各点的横坐标缩短为原来的$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$倍，纵坐标缩短为原来的$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$倍，得到曲线C₂，设点P是曲线C₂上任意一点，求点P到直线l距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三种方程的转化方法，写出直线l的普通方程和曲线C₁的参数方程；
（2）设点$P（{cosθ，\sqrt{3}sinθ}）$，点P到直线l的距离$d=\frac{{|{\sqrt{3}cosθ-\sqrt{3}sinθ+2\sqrt{3}}|}}{{\sqrt{3+1}}}=\frac{{\sqrt{3}|{\sqrt{2}sin（{θ-\frac{π}{4}}）-2}|}}{2}$，即可求点P到直线l距离的最小值．

解答 解：（1）直线l的普通方程为$\sqrt{3}x-y+2\sqrt{3}=0$，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{6}cosθ\\ y=\sqrt{6}sinθ\end{array}\right.（θ$为参数）．
（2）由题意知，曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.（θ$为参数），
可设点$P（{cosθ，\sqrt{3}sinθ}）$，
故点P到直线l的距离为$d=\frac{{|{\sqrt{3}cosθ-\sqrt{3}sinθ+2\sqrt{3}}|}}{{\sqrt{3+1}}}=\frac{{\sqrt{3}|{\sqrt{2}sin（{θ-\frac{π}{4}}）-2}|}}{2}$，
所以${d_{min}}=\frac{{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}}{2}$，即点P到直线l的距离的最小值为$\frac{{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}}{2}$．

点评 本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．