Question

15．若（2x-$\frac{1}{{x}^{2}}$）ⁿ的展开式中所有二项式系数和为64，则n=6；展开式中的常数项是240．

Answer 1

分析 利用二项式系数的性质求得n的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．

解答 解：∵（2x-$\frac{1}{{x}^{2}}$）ⁿ的展开式中所有二项式系数和为2ⁿ=64，则n=6；
根据（2x-$\frac{1}{{x}^{2}}$）ⁿ=（2x-$\frac{1}{{x}^{2}}$）⁶的展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{6}^{r}$•（-1）^r•（2x）^6-r•x^-2r =${C}_{6}^{r}$•（-1）^r•2^6-r•x^6-3r，
令6-3r=0，求得r=2，可得展开式中的常数项是${C}_{6}^{2}$•2⁴=240，
故答案为：6；240．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．