Question

4．已知离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$的椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$过点$（{1，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，点F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，过F₁的直线l与C交于A，B两点，且${S_{△AB{F_2}}}=\frac{{4\sqrt{3}}}{5}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证：以AB为直径的圆过坐标原点．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的离心率，以及椭圆过点$（{1，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，列出方程求出a，b即可求出椭圆方程．
（2）F₁（-1，0），F₂（1，0）；令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；当直线l的斜率不存在时，写出直线方程判断是否满足题意；设直线方程为l：y=k（x+1）；代入椭圆方程，通过韦达定理：弦长公式，点到直线的距离公式，通过三角形的面积，求解k，然后利用数量积判断求解即可．

解答 解：（1）点F₁，F₂分别为椭圆的左右焦点，椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$；
由离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$得：$\frac{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；
过点$（{1，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$得：$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{{2{b^2}}}=1$；
所以，$a=\sqrt{2}$，b=1；椭圆方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（2）证明：由（1）知F₁（-1，0），F₂（1，0）；令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；
当直线l的斜率不存在时，直线方程为l：x=-1；
此时，${S_{△AB{F_2}}}=\sqrt{2}$，不满足；设直线方程为l：y=k（x+1）；
代入椭圆方程得：（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0△=16k⁴-4×（1+2k²）（2k²-2）＞0
韦达定理：${x_1}+{x_2}=-\frac{{4{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{2{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$；
所以，$|{{x_1}-{x_2}}|=\frac{{2\sqrt{2{k^2}+2}}}{{1+2{k^2}}}$，
y₁y₂=k²（x₁x₂+x₂+x₁+1）=-$\frac{{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$；
所以，$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\frac{{2\sqrt{2}（{1+{k^2}}）}}{{1+2{k^2}}}$；
点F₂到直线l的距离为$d=\frac{{|{2k}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$；
所以，由${S_{△AB{F_2}}}=\frac{1}{2}×|{AB}|×d=\frac{{4\sqrt{3}}}{5}$得：k²=2；
∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=\frac{{{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}=0$，
∴$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$
所以，以AB为直径的圆过坐标原点．

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．