Question

2．已知圆C：（x-3）²+（y-t）²=t²（t≠0，t∈R），A（-3，0），B（3，2t），F（2，0）．
（1）若过A倾斜角为60°的直线与圆C相切，求t的值；
（2）过F且倾斜角不为0的直线l与圆C相切，l与AB交于M，求点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）过A倾斜角为60°的直线方程为$\sqrt{3}$x-y+3$\sqrt{3}$=0，利用过A倾斜角为60°的直线与圆C相切，建立方程，即可求t的值；
（2）求出两条直线方程，求出交点坐标，即可求点M的轨迹方程．

解答 解：（1）过A倾斜角为60°的直线方程为$\sqrt{3}$x-y+3$\sqrt{3}$=0，
∵过A倾斜角为60°的直线与圆C相切，
∴圆心到直线的距离d=$\frac{|3\sqrt{3}-t+3\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}}$=|t|，∴t=-6$\sqrt{3}$或2$\sqrt{3}$
（2）设直线l的方程为y=k（x-2），则$\frac{|k-t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=|t|，解得k=$\frac{2t}{1-{t}^{2}}$（k=0舍去）．
直线AB的方程为y=$\frac{t}{3}$x+t，与直线方程y=$\frac{2t}{1-{t}^{2}}$（x-2），联立，可得x=$\frac{15-3{t}^{2}}{{t}^{2}+5}$，y=$\frac{10t}{{t}^{2}+5}$，
消去t可得$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与圆位置关系的运用，考查参数法，属于中档题．