Question

13．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，则△ABC的内切圆半径r=$\frac{2S}{a+b+c}$，这是平面几何中的一个命题，其证明采用“面积法”：S_△ABC=S_△OAB+S_△OAC=$\frac{1}{2}$ar+$\frac{1}{2}$br+$\frac{1}{2}$cr=$\frac{1}{2}$（a+b+c）r．则r=$\frac{2S}{a+b+c}$．
（1）将此结论类比到空间四面体：设四面体S-ABC的四个面的面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄．体积为V，猜想四面体的内切球半径（用S₁，S₂，S₃，S₄，V，表示）．
（2）用综合法证明上述结论．

Answer 1

分析 （1）根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可，
（2）类似△ABC的内切圆半径r=$\frac{2S}{a+b+c}$的即可证明．

解答 解：（1）设四面体的内切球的球心为O，
则球心O到四个面的距离都是R，
∴四面体的体积等于以O为顶点，
分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．
则四面体的体积为V=$\frac{1}{3}$（S₁+S₂+S₃+S₄）r，
∴r=$\frac{3V}{{S}_{1}+{S}_{2}+{S}_{3}+{S}_{4}}$，
（2）证明：V_S-ABC=V_O-ABC+V_O-SAB+V_O-SBC+V_O-SAC=$\frac{r}{3}$（S_△ABC+S_△SAB+V_△SBC+V_O△SAC），
∴r=$\frac{3V}{{S}_{1}+{S}_{2}+{S}_{3}+{S}_{4}}$

点评 类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．