Question

1．以坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴，且两个坐标系取相等长度单位．已知直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=tcosφ}\\{y=2+tsinφ}\end{array}}\right.$（t为参数，0≤φ＜π），曲线C的极坐标方程为ρcos²θ=8sinθ．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当φ变化时，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）参数方程消去参数化为普通方程，极坐标方程转化为直角坐标方程即可．
（2）参数方程代入抛物线方程，利用韦达定理以及弦长公式转化求解即可．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}x=tcosφ\\ y=2+tsinφ\end{array}\right.$消去t得xsinφ-ycosφ+2cosφ=0，
所以直线l的普通方程为xsinφ-ycosφ+2cosφ=0．
由ρcos²φ=8sinθ，得（ρcosθ）²=8ρsinθ，
把x=ρcosφ，y=ρsinφ代入上式，得x²=8y，
所以曲线C的直角坐标方程为x²=8y．
（2）将直线l的参数方程代入x²=8y，得t²cos²φ-8tsinφ-16=0，
设A、B两点对应的参数分别为t₁，t₂，
则${t_1}+{t_2}=\frac{8sinφ}{{{{cos}^2}φ}}$，${t_1}{t_2}=-\frac{16}{{{{cos}^2}φ}}$，
所以$|{AB}|=|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{{t_1}+{t_2}}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{\frac{{64{{sin}^2}φ}}{{{{cos}^4}φ}}+\frac{64}{{{{cos}^2}φ}}}=\frac{8}{{{{cos}^2}φ}}$．
当φ=0时，|AB|的最小值为8．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，参数方程以及极坐标方程的互化，考查计算能力．