Question

10．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{2}{3}$，F₁，F₂分别是它的左、右焦点，且存在直线l，使F₁，F₂关于l的对称点恰好为圆C：x²+y²-4mx-2my+5m²-4=0（m∈R，m≠0）的一条直径的两个端点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线l与抛物线y²=2px（p＞0）相交于A，B两点，射线F₁A，F₁B与椭圆E分别相交于点M，N，试探究：是否存在数集D，当且仅当p∈D时，总存在m，使点F₁在以线段MN为直径的圆内？若存在，求出数集D；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求得圆心与半径，由c=2，根据离心率公式即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）求得直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，及向量数量积的坐标运算$\overrightarrow{{F}_{1}A}$•$\overrightarrow{{F}_{1}B}$＜0，代入即可求得求得．

解答 解：（1）将圆C的方程配方的：（x-2m）²+（y-m）²=4，则圆心C（2m，m），半径为2，
由椭圆的焦距为2c=d=4，c=2，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$，则a=3，
b²=a²-c²=5，故椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$；
（2）由F₁，F₂关于l的对称点恰好是圆C的一条直径的两个端点，则直线l是线段OC的垂直平分线，
故l方程为y=-2x+$\frac{5m}{2}$，
$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=-2x+\frac{5m}{2}}\end{array}\right.$，整理得2y²+2py-5pm=0，
则△=（2p）²+4×2×5p＞0，则p+10m＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₁，y₁），则y₁+y₂=-p，y₁y₁=-$\frac{5}{2}pm$，
由F₁的坐标为（-2，0），则$\overrightarrow{{F}_{1}A}$=（x₁+2，y₁），$\overrightarrow{{F}_{1}B}$=（x₂+2，y₂），
由$\overrightarrow{{F}_{1}M}$与$\overrightarrow{{F}_{1}A}$同向，$\overrightarrow{{F}_{1}N}$与$\overrightarrow{{F}_{1}B}$同向，
则点F₁在以线段MN为直径的圆内，则$\overrightarrow{{F}_{1}M}$•$\overrightarrow{{F}_{1}N}$＜0，则$\overrightarrow{{F}_{1}A}$•$\overrightarrow{{F}_{1}B}$＜0，
则（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂＜0，即x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+y₁y₁＜0，则$\frac{25{m}^{2}}{4}$+10（2-p）m+4（p+4）＜0，
当且仅当△=100（2-p）²-100（p+4）＞0，即p＞5，
总存在m使得②成立，
当p＞5时，由韦达定理可知$\frac{25{m}^{2}}{4}$+10（2-p）m+4（p+4）=0的两个根为正数，
故使②成立的m＞0，从而满足①，
故存在整数集D=（5，+∞），当且仅当p∈D时，总存在m，使点F₁在线段MN为直径的圆内．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．