Question

15．设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：
①若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；
②若T均是f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）的一个周期，则T也均是f（x）、g（x）、h（x）的一个周期，
③若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是奇函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是奇函数，
下列上述命题成立的个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 举出反例：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}2x，x≤1\\-x+3，x＞1\end{array}\right.$．g（x）=$\left\{\begin{array}{l}2x+3，x≤0\\-x+3，0＜x＜1\\ 2x，x≥1\end{array}\right.$，h（x）=$\left\{\begin{array}{l}-x，x≤0\\ 2x，x＞0\end{array}\right.$，可判断①；
根据函数的周期性的定义，可判断②；根据函数奇偶性的性质，可判断③．

解答 解：①不成立．可举反例：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}2x，x≤1\\-x+3，x＞1\end{array}\right.$．g（x）=$\left\{\begin{array}{l}2x+3，x≤0\\-x+3，0＜x＜1\\ 2x，x≥1\end{array}\right.$，h（x）=$\left\{\begin{array}{l}-x，x≤0\\ 2x，x＞0\end{array}\right.$．均不是增函数，
但f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，
故①错误；
②∵f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），
h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T），
前两式作差可得：g（x）-h（x）=g（x+T）-h（x+T），
结合第三式可得：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），
同理可得：f（x）=f（x+T），因此②正确．
③若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是奇函数，
f（x）+g（x）+f（x）+h（x）-[g（x）、h（x）]=2f（x）是奇函数，
即f（x）是奇函数，
同理g（x）、h（x）均是奇函数，故③正确；
故选：C．

点评 本题考查了抽象函数的单调性，奇偶性与周期性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题