Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数有两个极值点，且，求证；

（3）设，对于任意时，总存在，使成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）递增区间为和,递减区间为.（2）见解析（3）

【解析】分析：（1）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）在上有两个不等的实根,由韦达定理及对数的运算法则可得，只需利用导数证明即可；（3）只需成立即可.化简得,，所以在递增，，利用在上恒成立可得结果.

详解：(1)

时,,

令或,令,

所以的递增区间为和,递减区间为.

(2)由于有两个极值点,

则在上有两个不等的实根,

设，

所以

所以在上递减，所以即.

(3)由题意知：只需成立即可. 因为,

所以，因为，所以，而，

所以，所以在递增，

当时，.

所以在上恒成立，

令，则在上恒成立，

，又

当时，,在递减,当时，,

所以，所以；

当即时，

①即时，在上递增，

存在，使得，不合；

②即时，，在递减,

当时，,所以，

所以综上, 实数的取值范围为.