Question

【题目】圆，直线.

（1）证明：不论取什么数，直线与圆恒交于两点；

（2）求直线被圆截得的线段的最短长度，并求此时的值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）先由直线的方程得到定点坐标，再判断出在圆内，即可得出结论；

（2）由（1）可得，过点的所有弦中，弦心距，因此当取最大值时，弦长最短，求出弦长，再由，即可求出结果.

（1）因为直线的方程可化为，

所以过直线与的交点.

又因为点到圆心的距离，

所以点在圆内，所以过点的直线与圆恒交于两点．

（2）由（1）可知：过点的所有弦中，弦心距，

因为弦心距、半弦长和半径构成直角三角形，

所以当时，半弦长的平方的最小值为，

所以弦长的最小值为.

此时，.

因为，所以，解得，

所以当时，得到最短弦长为.