Question

【题目】抛物线上纵坐标为的点到焦点的距离为2．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）如图，为抛物线上三点，且线段与轴交点的横坐标依次组成公差为1的等差数列，若的面积是面积的，求直线的方程．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).

【解析】

试题本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、斜率公式、点到直线的距离等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，将纵坐标-p代入抛物线中先找到横坐标，再利用抛物线的定义，列出点M到焦点的距离，解出P和；第二问，设出A，B，C三点坐标，分轴和与轴不垂直分别进行讨论，当与轴不垂直时，设出直线MB的方程，利用面积的比例关系转化为点到直线的距离的比例关系，列出距离的等式，解出参量，得到直线MB的方程

试题解析：（1）解：设， 则，，

由抛物线定义，得所以． 5分

（2）由（1）知抛物线方程为，．

①设，，（均大于零)

，，与轴交点的横坐标依次为． 6分

当轴时，直线的方程为，则，不合题意，舍去． 7分

②与轴不垂直时，，

设直线的方程为，即，

令得2，同理2，2， 9分

因为依次组成公差为1的等差数列，所以组成公差为2的等差数列．

设点到直线的距离为，点到直线的距离为，

因为，所以=2，

所以

得，即，所以，

所以直线的方程为：12分

解法二：（1）同上．

（2）由（1）知抛物线方程为，．

由题意，设与轴交点的横坐标依次为

设，（均大于零）． 6分

①当轴时，直线的方程为，则，不合题意，舍去． 7分

②与轴不垂直时，

设直线的方程为，即，

同理直线的方程为，

由得

则所以， 10分

同理，设点到直线的距离为，点到直线的距离为， 因为，所以=2，

所以

化简得，即，

所以直线的方程为：12分