Question

【题目】三个圆交于一点，又两两将于点、、.以为圆心的一个圆与上述三个圆分别交于点，，，其中，点在不含点的圆上，等等.又设、、的外接圆交于一点， 、的外接圆交于一点.证明：.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

以圆为基圆作反演，各点反演后的像仍用同一字母表示（下面出现的字母都是各点反演后的像）.则三个圆的反形为三条直线、、（如图）.

只需证明反形中有.

由条件，反演后仍为、、的外接圆的交点，仍为、、的外接圆的交点.

首先证明：是点的等角共轭点（即等）.

事实上，

.

设的等角共轭点为.则

.

所以，.

类似得到其他两式.

于是，.

其次，作，关于的垂足三角形、（图）.

因，所以，、、、四点共圆.

同样得到另两个圆.

若这三个圆不重合，则其三条根轴（、、）共点，此时，三边共点，矛盾.

于是这三个圆重合，即、、、、、六点共圆，设其圆心为，则在、、的中垂线上，这些中垂线平分的中点.

由共圆知，.

则.

绕点旋转角度，再作以为中心的相似变换，使相似比为.

则，.

所以，.

显然，.

故.

又为的中点，故.