Question

【题目】已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的动直线与双曲线相交于两点.在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】存在，．

【解析】

假设在轴上存在定点，使为常数，当不与轴垂直时，设出直线的方程，然后与双曲线方程联立消去得到关于的一元二次方程，进而可得到两根之和与两根之积，表示出向量并将所求的两根之和与两根之积代入整理即可求出的坐标；当与轴垂直时可直接得到，的坐标，再由，可确定答案．

解：由条件知，

设点的坐标分别为，

假设在轴上存在定点，使为常数，

当不与轴垂直时，设直线的方程是，

代入，得，

，

∴

，

∵是与无关的常数，

∴，即，此时；

当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，

此时；

故在轴上存在定点，使为常数．