Question

【题目】已知函数．

（1）若，求函数的极值和单调区间；

（2）若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）取得极小值为，的单调递增区间为，单调递减区间为；

（2）.

【解析】

（1）求函数的导数，令导数等于零，解方程，再求出函数的导数和驻点，然后列表讨论，求函数的单调区间和极值；

（2）若在区间上存在一点，使得成立，其充要条件是在区间上的最小值小于即可．利用导数研究函数在区间上的最小值，先求出导函数，然后讨论研究函数在上的单调性，将的极值点与区间的端点比较，确定其最小的极值点．

解：的定义域为，

因为，

（1）当时，，令，得，

又的定义域为，

，随的变化情况如下表:

		1
		0
	单调递减	极小值	单调递增

所以时，取得极小值为．

的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）因为，且．

令，得，

若在区间上存在一点，使得成立，

其充要条件是在区间上的最小值小于0即可．

当，即时，对成立，

所以，在区间上单调递减，

故在区间上的最小值为，

由，得，即．

当，即时，

若，则对成立，

所以在区间上单调递减，

所以，在区间上的最小值为

，

显然，在区间上的最小值小于不成立．

若，即时，则有

	单调递减	极小值	单调递增

所以在区间上的最小值为．

由，

得，解得，即．

综上，由可知符合题意．