Question

11．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-ax，x≤0}\\{lo{g}_{a}（x+1），x＞0}\end{array}\right.$其中a≠1，若方程f（x）=2有两个解，则实数a的取值范围是a＞1．

Answer 1

分析 根据分段函数的表达式，结合对数函数的性质，利用对数函数的图象和性质进行求解即可．

解答 解：若0＜a＜1，则当x≤0时，函数f（x）=1-ax为减函数，此时函数的最小值为1，存在一个根x使f（x）=2成立，
当x＞0时，f（x）=log_a（x+1）为减函数，此时f（x）＜0，方程f（x）=2无解，综上方程f（x）=2只有一个解，不满足条件．
若a＞1，则当x≤0时，函数f（x）=1-ax为减函数，此时函数的最小值为1，存在一个根x使f（x）=2成立，
当x＞0时，f（x）=log_a（x+1）为增函数，此时f（x）＞0，方程f（x）=2有一个解，综上方程f（x）=2有两个解，满足条件．
综上a＞1，
故答案为：a＞1．

点评 本题主要考查根的个数的判断和应用，利用分段函数的表达式，结合对数函数的单调性是解决本题的关键．