Question

16．设函数f（x）的定义域为D，记f（X）={y|y=f（x），x∈X⊆D}，f^-1（Y）={x|f（x）∈Y，x∈D}，若f（x）=2sin（ωx+$\frac{5π}{6}$）（ω＞0），D=[0，π]，且f（f^-1（[0，2]）=[0，2]，则ω的取值范围是[$\frac{5}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 由题意可得$\frac{5π}{6}$≤ωx+$\frac{5π}{6}$≤ωπ+$\frac{5π}{6}$，2sin（ωx+$\frac{5π}{6}$）∈[0，2]，可得ωπ+$\frac{5π}{6}$≥2π+$\frac{π}{2}$，由此求得ω的范围．

解答 解：由题意得，D=[0，π]，f（x）=2sin（ωx+$\frac{5π}{6}$）（ω＞0）的定义域为D，
∵f^-1（[0，2]）={x|f（x）∈[0，2]，x∈R}，故2sin（ωx+$\frac{5π}{6}$）∈[0，2]．
∵ω＞0，x∈[0，π]，∴$\frac{5π}{6}$≤ωx+$\frac{5π}{6}$≤ωπ+$\frac{5π}{6}$，
∴由2sin（ωx+$\frac{5π}{6}$）∈[0，2]，可得ωπ+$\frac{5π}{6}$≥2π+$\frac{π}{2}$，∴ω≥$\frac{5}{3}$，
故答案为：[$\frac{5}{3}$，+∞）．

点评 本题考查了对应关系的应用，以及函数的定义域与值域的关系的应用，属于中档题．