试题分析:四个选项中都给出了具体的函数解析式,其中选项D是分段函数,可由f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x)知函数为奇函数,在分析x>0时函数的增减性,根据奇函数的对称性进一步得到函数在整个定义域内的增减性;选项B举一反例即可; C、A中的两个函数,定义域均不关于原点对称,都不是奇函数.根据题意,由于解:由f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x),知函数f(x)=x|x|为奇函数,又f(x)=x|x|= x2 (x>0),-x2 (x<0)
当x>0时,f(x)=x2在(0,∞)上为增函数,根据奇函数图象关于原点中心对称,所以当x<0时,f(x)=-x2在(-∞,0)上也为增函数,所以函数f(x)=x|x|在定义域内既是奇函数,又是增函数,故A正确.由于正弦函数是周期性函数,不满足定义域内增函数,因此错误,对于C,A,定义域部关于原点对称,故选D.
点评:本题主要考查了函数的奇偶性及函数的单调性的判断,尤其y=tanx的单调区间是解答中容易出现错误的地方,要注意掌握.