Question

【题目】已知函数，，.

（1）若，求函数的极小值；

（2）设函数，求函数的单调区间；

（3）若在区间上存在一点，使得成立，求的取值范围，（）

Answer 1

【答案】（1）1；（2）详见解析；（3）：或.

【解析】试题分析：（1），第一步求函数的导数，第二步求极值点，分析零点两侧的单调性，求得极小值；（2）， ，函数的定义域是，所以讨论和0的大小关系，分和两种情况讨论函数的单调性；（3）根据（2）将问题转化为，使，讨论极值点与定义域的关系，分三种情况讨论函数的最小值，令 ，求实数.

试题解析：（1）的定义域为，

当时，，，

	（0,1）	1
	-	0	+
		极小值

所以在处取得极小值1.

（2），

，

①当时，即时，在上，在上，

所以在上单调递减，在上单调递增；

②当，即时，在上，

所以，函数在上单调递增.

综上所述，①当时，的单调递减区间是，单调递增区间是；

②当时，函数的单调递增区间是，不存在减区间.

（3）在上存在一点，使得成立，即

在上存在一点，使得，即

函数在上的最小值小于零.

由（2）可知

①即，即时，在上单调递减，

所以的最小值为，由可得.

所以；

②当，即时，在上单调递增.

所以最小值为，由可得；

③当，即时，可得最小值为，

因为，所以，，

故，此时，不成立.

综上讨论可得所求的范围是：或.