Question

【题目】已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞).

(1)当a＝时，判断并证明f(x)的单调性；

(2)当a＝－1时，求函数f(x)的最小值.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】 (1)当a＝时，f(x)＝＝x＋2＋＝x＋＋2.

函数f(x)在[1，＋∞)上是单调递增函数，证明如下：

设x1，x2是[1，＋∞)上的任意两个实数，且x1<x2，

则 .

因为，所以x1－x2<0，x1·x2>0，x1x2－>0，

所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).

所以函数f(x)在[1，＋∞)上是单调递增函数.

(2)当a＝－1时，f(x)＝x－＋2.

由函数y1＝x和y2＝－在[1，＋∞)上都是单调递增函数，结合单调性的性质，可得f(x)＝x－＋2在[1，＋∞)上是单调递增函数.

当x＝1时，f(x)取得最小值f(1)＝1－1＋2＝2，

故函数f(x)的最小值为2.