【题目】已知函数,
.
(1)求函数在
的最小值;
(2)若函数与
的图象恰有一个公共点,求实数
的值;
(3)若函数有两个不同的极值点
,且
,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)由,得极值点为
,分情况讨论
及
时,函数
的最小值;(Ⅱ)当函数
有两个不同的极值点,即
有两个不同的实根
,问题等价于直线
与函数
的图象有两个不同的交点,由
单调性结合函数图象可知当
时,
存在,且
的值随着
的增大而增大,而当
时,由题意
,
代入上述方程可得
,此时实数
的取值范围为
.
试题解析:(Ⅰ)由,可得
,
①
时,函数
在
上单调递减,在
上单调递增,
函数
在
上的最小值为
,
②当时,
在
上单调递增,
,
;
(Ⅱ),则
题意即为有两个不同的实根
,
即有两个不同的实根
,
等价于直线与函数
的图像有两个不同的交点,
,
在
上单调递减,在
上单调递增,
画出函数图像的大致形状(如右图),
由图像知,当时,
存在,且
的值随着
的增大
而增大,而当时,由题意
,
两式相减可得
代入上述方程可得
,
此时,
所以,实数的取值范围为
;
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙,并约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后,逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的资料中:①这种消费品的进价为每件14元;②该店月销量Q(百件)与销量价格P(元)的关系如图所示;③每月需各种开支2 000元.
(1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最大?并求最大余额;
(2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知中心在坐标原点,焦点在轴上的椭圆,离心率为
且过点
,过定点
的动直线与该椭圆相交于
、
两点.
(1)若线段中点的横坐标是
,求直线
的方程;
(2)在轴上是否存在点
,使
为常数?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆:
,圆
:
的圆心
在椭圆上,点
到椭圆
的右焦点的距离为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点作互相垂直的两条直线
,且
交椭圆
于
两点,直线
交圆
于
,
两点,且
为
的中点,求
面积的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,得曲线
的极坐标方程为
.
(1)化曲线的参数方程为普通方程,化曲线
的极坐标方程为直角坐标方程;
(2)直线(
为参数)过曲线
与
轴负半轴的交点,求与直线
平行且与曲线
相切的直线方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.
(1)求M的轨迹方程;
(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.
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