Question

9．已知{a_n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a₃a₅=45，a₂+a₆=14．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足$\frac{{b}_{1}}{2}$+$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$=a_n+1（n∈N^*）．求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的通项公式求出首项和公差即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）根据数列的递推关系，利用作差法求出数列{b_n}的通项公式，根据等比数列的定义判断数列是等比数列即可得到结论．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则依题设d＞0．
由a₂+a₆=14，可得a₄=7．
由a₃a₅=45，得（7-d）（7+d）=45，可得d=2．
即a₁=7-3d=1．
可得a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）∵$\frac{{b}_{1}}{2}$+$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$=a_n+1=2n，
∴当n≥2时，$\frac{{b}_{1}}{2}$+$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{b}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=2（n-1），
两式作差得$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$=2，
即b_n=2•2ⁿ=2ⁿ⁺¹，
∴数列{b_n}是首项为4，公比为2的等比数列．
即数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{4（1-{2}^{n}）}{1-2}={2}^{n+2}-4$．

点评 本题主要考查数列的求和，利用条件利用作差法判断数列{b_n}是等比数列是解决本题的关键．