Question

【题目】已知曲线，相邻对称轴之间的距离为，且函数在处取得最大值，则下列命题正确的是（ ）

①当时，的取值范围是；

②将的图象向左平移个单位后所对应的函数为偶函数；

③函数的最小正周期为；

④函数在区间上有且仅有一个零点.

A.①②B.①③C.①③④D.②④

Answer 1

【答案】B

【解析】

根据函数相邻对称轴之间的距离为，求得函数的最小正周期，从而求得，再利用辅助角公式，求得函数的解析式，逐项分析，即可求解.

由题意，函数，其中，

因为函数相邻对称轴之间的距离为，可得最小值周期为，

又由，所以，

当时，则，

对于①中，由函数在出取得最大值，可得，

解得，所以，

又由，所以，即，所以是正确的；

对于②中，不妨令，则，可解得一个，那么的图象向左平移个单位后得到函数，此时函数为奇函数，所以是不正确的；

对于③中，由于的周期为，可得函数的周期为，即函数的最小正周期应满足，所以是正确的；

对于④中，

，

由③可知函数的最小正周期为，由函数在处取得最大值可知，在其后上满足，而当超过这区间的时候，存在的情况，

即当时，函数值一直为0，显然不止一个零点，所以是错误的.

当时，同理可验证得到以上结论，

综上可得正确的是①③.

故选：B.