Question

【题目】已知函数

（1）若，求证：

（2）若，恒有，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）（﹣∞，0]

【解析】

（1）利用导数求x＜0时，f（x）的极大值为，即证（2）等价于k≤，x＞0，令g（x）＝，x＞0，再求函数g(x)的最小值得解.

（1）∵函数f（x）＝x2e3x，∴f′（x）＝2xe3x+3x2e3x＝x（3x+2）e3x．

由f′（x）＞0，得x＜﹣或x＞0；由f′（x）＜0，得，

∴f（x）在（﹣∞，﹣）内递增，在（﹣，0）内递减，在（0，+∞）内递增，

∴f（x）的极大值为，

∴当x＜0时，f（x）≤

（2）∵x2e3x≥（k+3）x+2lnx+1，∴k≤，x＞0，

令g（x）＝，x＞0，则g′（x），

令h（x）＝x2（1+3x）e3x+2lnx﹣1，则h（x）在（0，+∞）上单调递增，

且x→0+时，h（x）→﹣∞，h（1）＝4e3﹣1＞0，

∴存在x0∈（0，1），使得h（x0）＝0，

∴当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，

当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，

∴g（x）在（0，+∞）上的最小值是g（x0）＝，

∵h（x0）＝+2lnx0﹣1=0，所以，

令，

令

所以=1，,

∴g（x0）

∴实数k的取值范围是（﹣∞，0]．