Question

（本小题满分12分）设椭圆(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1、F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，，△DF1F2的面积为．

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）若圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点，求出这个圆的方程．

Answer 1

（1）；（2）x2+(y－)2=．

【解析】

试题分析：（1）由题设知F1(－c, 0)，F2(c, 0)其中,

由,结合条件△DF1F2的面积为，可求c的值，再利用椭圆的定义和勾股定理即可求得a,b的值，从而确定椭圆的标准方程；

（2）假设存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点；设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点为A(x0, y0)，B(－x0, y0)利用A(x0, y0)，B(－x0, y0)在圆上及确定交点的坐标，进而得到圆的方程．

试题解析：（1）设F1(－c, 0)，F2(c, 0),|DF1|=,又 , ，

∴，∴a=，b=1，∴椭圆方形为．

（2）设圆心在y轴上的圆与椭圆交于A(x0, y0)，B(－x0, y0)， F1A，F2B是圆C的两条切线，

F1(－1, 0)，F2(1, 0)，=(x0+1, y0)， =(－x0－1, y0)，，

∴－(x0+1)2+y02=0 即y02=(x0+1)2 ………………①

而+y02=1 ………………②

由①②得：

∴x0=，y0=，∴A()，B()

设圆心为C(0, m)，则，，

，．

∴圆心C(0,)，半径r =，∴圆方程为x2+(y－)2=．

考点：圆的方程，直线雨啊椭圆的位置关系．

考点分析： 考点1：椭圆的标准方程 考点2：椭圆的几何性质 试题属性

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