Question

已知△ABC三个顶点坐标分别为：A（1，0），B（1，4），C（3，2），直线l经过点（0，4）．
（1）求△ABC外接圆⊙M的方程；
（2）若直线l与⊙M相切，求直线l的方程；
（3）若直线l与⊙M相交于A，B两点，且AB=2

3

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用,圆的一般方程

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）确定△ACB是等腰直角三角形，因而△ACB圆心为（1，2），半径为2，即可求△ABC外接圆⊙M的方程；
（2）当直线l与x轴垂直时，显然不合题意，因而直线l的斜率存在，设l：y=kx+4，由题意知

|k-2+4|

k2+1

=2，求出k，即可求直线l的方程；
（3）分类讨论，利用勾股定理，可得直线l的方程．

解答： 解：（1）∵A（1，0），B（1，4），C（3，2），
∴

CA

=（-2，-2），

CB

=（-2，2），
∴

CA

•

CB

=0，|

CA

|=|

CB

|，则△ACB是等腰直角三角形，
因而△ACB圆心为（1，2），半径为2，∴⊙M的方程为（x-1）²+（y-2）²=4．
（2）当直线l与x轴垂直时，显然不合题意，因而直线l的斜率存在，设l：y=kx+4，
由题意知

|k-2+4|

k2+1

=2，解得k=0或k=

4

3

，…（8分）
故直线l的方程为y=4或4x-3y+12=0．…（10分）
（3）当直线l与x轴垂直时，l方程为x=0，它截⊙M得弦长恰为2

3

；…（12分）
当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+4，
∵圆心到直线y=kx+4的距离

|k+2|

k2+1

，
由勾股定理得(

|k+2|

k2+1

)2+(

2 3

2

)2=4，解得k=-

3

4

，…（14分）
故直线l的方程为x=0或3x+4y-16=0．  …（16分）

点评：本题考查直线和圆的方程的应用，考查直线、圆的方程，考查点到直线的距离公式，属于中档题．