Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），经过F与B（0，b）的直线与圆x2+y2=

3

4

相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F的直线l交椭圆于M、N两点，求

FM

•

FN

的最值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,圆的切线方程,椭圆的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）经过F与B（0，b）的直线方程为x+

y

b

=1，利用经过F与B（0，b）的直线与圆x2+y2=

3

4

相切，结合点到直线的距离公式，求出b再求出a，即可得到椭圆C的方程；
（2）设直线l的方程为y=k（x-1），代入椭圆方程，消y并整理，利用向量的数量积公式，结合韦达定理表示出

FM

•

FN

，化简可求最值．

解答： 解：（1）经过F与B（0，b）的直线方程为x+

y

b

=1．
∵经过F与B（0，b）的直线与圆x2+y2=

3

4

相切，
∴圆心到直线的距离d=

1

1+ 1 b2

=

3

2

，
∴b=

3

，
∵c=1，
∴a=

b2+c2

=2，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）可设直线l的方程为y=k（x-1），代入椭圆方程，消y并整理得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=

8k2

4k2+3

，x₁x₂=

4k2-12

4k2+3

，
△=（-8k²）²-4（4k²+3）（4k²-12）＞0恒成立．

FM

•

FN

=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=（1+k²）[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]
=（1+k²）（

4k2-12

4k2+3

-

8k2

4k2+3

+1）=

-9(1+k2)

4k2+3

，
令1+k²=t（t≥1），则

FM

•

FN

=

9t

1-4t

=

9

1 t -4

，
∵t≥1，∴-4＜

1

t

-4≤-3，
∴-3≤

FM

•

FN

＜-

3

4

即

FM

•

FN

的最小值为-3．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量的数量积公式，属于中档题．