Question

15．已知抛物线y=8x²-8nx-n²与坐标轴交于三点，作过这三点的圆，发现圆经过一个定点，则该定点坐标为（$\frac{1±\sqrt{2}}{2}$，0）．

Answer 1

分析 求出抛物线y=8x²-8nx-n²与坐标轴相交的三点为（0，-n²），（$\frac{2-\sqrt{6}}{4}n，0$），（$\frac{2+\sqrt{6}}{4}$n，0），设过这三点的圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，利用待定系数法求出圆的方程为${x}^{2}+{y}^{2}-x+Ey-\frac{1}{4}$=0，由此能求出圆经过的定点的坐标．

解答 解：∵抛物线y=8x²-8nx-n²与坐标轴交于三点，
∴由x=0，得y=-n²，由y=0，得8x²-8nx-n²=0，
解得${x}_{1}=\frac{2+\sqrt{6}}{4}n$，${x}_{2}=\frac{2-\sqrt{6}}{4}$n，
∴抛物线y=8x²-8nx-n²与坐标轴相交的三点为（0，-n²），（$\frac{2-\sqrt{6}}{4}n，0$），（$\frac{2+\sqrt{6}}{4}$n，0），
设过这三点的圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{4}-{n}^{2}E+F=0}\\{\frac{10-4\sqrt{6}}{16}+\frac{2-\sqrt{6}}{4}D+F=0}\\{\frac{10+4\sqrt{6}}{16}+\frac{2+\sqrt{6}}{4}D+F=0}\end{array}\right.$，解得D=-1，F=-$\frac{1}{4}$，
∴圆的方程为${x}^{2}+{y}^{2}-x+Ey-\frac{1}{4}$=0，
设该圆过定点P（x₀，y₀），
则${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}-{x}_{0}+E{y}_{0}-\frac{1}{4}$=0，
∵圆经过一个定点，∴y₀=0，${{x}_{0}}^{2}-{x}_{0}-\frac{1}{4}=0$，
解得x₀=$\frac{1±\sqrt{2}}{2}$，∴该定点坐标为（$\frac{1±\sqrt{2}}{2}$，0）．
故答案为：（$\frac{1±\sqrt{2}}{2}$，0）．

点评 本题考查圆经过的定点坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．