【题目】已知函数
(1)若曲线在点
处的切线与直线
垂直,求函数的极值;
(2)设函数.当
=
时,若区间[1,e]上存在x0,使得
,求实数
的取值范围.(
为自然对数底数)
【答案】(1)极小值为;(2)
【解析】试题分析:(1)求出函数的导数,计算的值,求出
,从而求出
的单调区间,求出函数的极值即可;(2)令
,根据函数的单调性求出
的最小值,从而求出
的范围即可.
试题解析:(1)(
),因为曲线
在点(1,f(1))处的切线与直线
垂直,所以
,即
,解得
.所以
, ∴当
时,
,
在
上单调递减;当
时,
,f(x)在(2,+∞)上单调递增;∴当x=2时,f(x)取得极小值
,∴f(x)极小值为ln2.
(2)令,则
,欲使在区间上
上存在
,使得
,只需在区间
上
的最小值小于零.令
得,
或
.当
,即
时,
在
上单调递减,则
的最小值为
,∴
,解得
,∵
,∴
;当
,即
时,
在
上单调递增,则
的最小值为
,∴
,解得
,∴
;当
,即
时,
在
上单调递减,在
上单调递增,则
的最小值为
,∵
,∴
,∴
,此时
不成立.综上所述,实数m的取值范围为
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【题目】下列事件A,B是独立事件的是( )
A. 一枚硬币掷两次,A=“第一次为正面向上”,B=“第二次为反面向上”
B. 袋中有两个白球和两个黑球,不放回地摸两球,A=“第一次摸到白球”,B=“第二次摸到白球”
C. 掷一枚骰子,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为偶数”
D. A=“人能活到20岁”,B=“人能活到50岁”
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【题目】在直角坐标系中,以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)若两条互相垂直的直线都经过原点(两条直线与坐标轴都不重合)且与曲线分别交于点
(异于原点),且
,求这两条直线的直角坐标方程.
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【题目】在直角坐标系xOy中,已知直线l过点P(2,2).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ﹣ρcos2θ﹣4cosθ=0.
(1)求C的直角坐标方程;
(2)若l与C交于A,B两点,求的最大值.
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【题目】设数列前
项和为
,对任意
,点
都在函数
图像上.
(1)求、
、
,并猜想数列
的通项公式;
(2)用数学归纳法证明(1)的猜想;
(3)若数列满足:
,
,且对任意的
,都有
、
、
成公比为
的等比数列,
、
、
成等差数列,设
,求数列
的通项公式.
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【题目】一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图231所示.
图231
将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.
(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望E(X)及方差D(X).
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【题目】(本小题满分10分)选修4—4,坐标系与参数方程
已知曲线,直线
:
(
为参数).
(I)写出曲线的参数方程,直线
的普通方程;
(II)过曲线上任意一点
作与
夹角为
的直线,交
于点
,
的最大值与最小值.
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