Question

4．若直线y=x+b与曲线$y=3-\sqrt{4x-{x^2}}$有2个不同的公共点，则实数b的取值范围是（1-2$\sqrt{2}$，-1]．

Answer 1

分析 结合图象通过讨论直线y=x+b的位置，求出b的范围即可．

解答 解：曲线方程变形为（x-2）²+（y-3）²=4，表示圆心A为（2，3），半径为2的下半圆，
根据题意画出图形，如图所示：
，
当直线y=x+b过B（4，3）时，将B坐标代入直线方程得：3=4+b，即b=-1；
当直线y=x+b与半圆相切时，圆心A到直线的距离d=r，
即$\frac{|b-1|}{\sqrt{2}}$=2，即b-1=2$\sqrt{2}$（不合题意舍去）或b-1=-2$\sqrt{2}$，
解得：b=1-2$\sqrt{2}$，
则直线与曲线有两个公共点时b的范围为1-2$\sqrt{2}$＜b≤-1．
故答案为：1-2$\sqrt{2}$＜b≤-1．

点评 本题考查了直线和圆锥曲线的关系，考查二次函数的性质，是一道中档题．