Question

【题目】如图（1），在矩形中，已知分别为和的中点，对角线与交于点，沿把矩形折起，使两个半平面所成二面角为60°，如图（2）.

（1）求证：；

（2）求与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题（1）依题意可知，利用勾股定理分别求出，再利用勾股定理证明三角形是直角三角形，所以；（2）过作，连接，易证得为与平面所成的角，由此求得与平面所成角的正弦值为.

试题解析：

（1）证明 ：翻折前，由于是矩形的边和的中点，所以，折叠后垂直关系不变，所以是两个半平面所成二面角的平面角，所以．

连接，由，可知是正三角形，所以，

在中，，所以，由题可知，由勾股定理可知三角形是直角三角形，所以．

（2）设分别是的中点，连接，又，所以，则，

又，所以平面．

又，所以，又，所以平面．又平面，所以平面平面．

过作，由面面垂直的性质定理，可得平面，连接，则是在平面的投影，所以为与平面所成的角.

又是斜边上的高，所以，又，所以．

故与平面所成角的正弦值为．