Question

已知α，β，γ成等差数列，且公差为

2π

3

，m为实常数，则sin²（α+m），sin²（β+m），sin²（γ+m）这三个三角函数式的算术平均数为

1

2

．

Answer 1

分析：先利用倍角公式的变形把次数由二次降为一次，再利用和角公式、差角公式来统一角，达到化简求值的目的．

解答：解：由题意，α=β-

2π

3

，γ=β+

2π

3

，
∴sin²（α+m），sin²（β+m），sin²（γ+m）这三个三角函数式的算术平均数为S=

1

3

[sin2(α+m)+sin2(β+m)+sin2(γ+m)]=

1

3

[sin2(β-

2π

3

+m)+sin2(β+m)+sin2(β+

2π

3

+m)]=

1

3

[

1-cos(2β- 4π 3 +2m)

2

+

1-cos(2β+2m)

2

+

1-cos(2β+ 4π 3 +2m)

2

]=

1

2

-

1

6

[cos(2β+2m-

4π

3

)+cos(2β+2m+

4π

3

)+cos(2β+2m)]=

1

2

-

1

6

[2cos(2β+2m)cos

4π

3

+cos(2β+2m)]=

1

2

-

1

6

[2cos(2β+2m)(-

1

2

)+cos(2β+2m)]=

1

2

．
故答案为：

1

2

点评：本题的综合性较高，对学生利用三角公式进行三角恒等变换的能力要求较高．对考点的发散思维点拨：新课标中的三角函数的考察要想推陈出新，可以不断改变考察方式和考察角度．引导、归纳及预测：虽然大纲中对三角函数的要求近年来有所降低，但对知识点的综合性却在提高，三角函数部分与其它章节的综合也在意料之中．解题方法技巧：本题的关键是三角函数式的化简，在化简时要及时调控变形方向，把握好“角的变化”、“函数名称的变化”、“运算形式的变化”这三种三角变换的时机．