Question

【题目】如图，已知椭圆的左顶点为，过右焦点的直线交椭圆于，两点，直线，分别交直线于点，.

（1）试判断以线段为直径的圆是否过点，并说明理由；

（2）记，，的斜率分别为，，，证明：，，成等差数列.

Answer 1

【答案】（1）以线段为直径的圆过点，理由见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）设直线斜率为，求出点坐标，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理解出的坐标，同理可得设直线斜率为，求出点坐标，根据三点共线，，得出两条直线斜率关系，再通过计算得出，即可得证；

（2）根据第一问所求点的坐标及斜率关系计算出，化简即可得证.

（1）以线段为直径的圆过点，证明如下：

由题意知直线斜率存在且不为零，

设直线斜率分别为，设，直线方程为，则点坐标为

联立直线与椭圆的方程：

，整理得：，其根为两点横坐标，

根据韦达定理，

所以，

即点的坐标.

同理可得设直线斜率分别为，点坐标为

解得点的坐标为

三点共线，，即

，

所以，即以线段为直径的圆过点；

（2）由（1）可得，，

，

所以，，成等差数列.