【题目】已知函数.
(1)当时,用定义证明函数
在定义域上的单调性;
(2)若函数是偶函数,
(i)求的值;
(ii)设,若方程
只有一个解,求
的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)(i),(ii)
或
【解析】
(1)按单调性的定义证明步骤,任取,再作差判断符号得到
,即可得答案;
(2)(i)根据偶函数的定义得
恒成立;
(ii)将方程中令
,将方程化为
,再对
分
、
两种情况分类讨论.
(1)当时,函数
定义域为
,任取
,
,
因为,所以
,
所以,
,
所以,
所以,故函数
在
上单调递增;
(2)(i)因为函数是偶函数,所以
,
即,
即,
所以恒成立,
所以;
(ii)由题意得,
所以,
所以,即
,
设,则
与
一一对应,原方程化为
,
设,
因为,所以
与
符号相同,
①当时,
,则方程
在
上只有一个正根,
因为开口向上,
,
,
,
当时,所以方程在
上只有一个正根;
②当时,
,则方程
在
上只有一个正根,
因为开口向下,
,
,
则,解得
,所以
,
故当或
时,所以方程只有一个正根.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】2019年在印度尼西亚日惹举办的亚洲乒乓球锦标赛男子团体决赛中,中国队与韩国队相遇,中国队男子选手A,B,C,D,E依次出场比赛,在以往对战韩国选手的比赛中他们五人获胜的概率分别是0.8,0.8,0.8,0.75,0.7,并且比赛胜负相互独立.赛会釆用5局3胜制,先赢3局者获得胜利.
(1)在决赛中,中国队以3∶1获胜的概率是多少?
(2)求比赛局数的分布列及数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】年
月
日“世界读书日”来临之际,某校为了了解中学生课外阅读情况,随机抽取了
名学生,并获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表.
组号 | 分组 | 频数 | 频率 |
1 | [0,5) | 5 | 0.05 |
2 | [5,10) | a | 0.35 |
3 | [10,15) | 30 | b |
4 | [15,20) | 20 | 0.20 |
5 | [20,25] | 10 | 0.10 |
合计 | 100 | 1 |
(1)求、
的值
(2)作出这些数据的频率分布直方图
(3)假设每组数据组间是平均分布的,试估计该组数据的平均数和中位数.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
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【题目】某工厂生产的某产品按照每箱10件包装,每箱产品在流入市场之前都要检验.若整箱产品检验不通过,除去检验费用外,每箱还要损失100元.检验方案如下:
第一步,一次性随机抽取2件,若都合格则整箱产品检验通过;若都不合格则整箱产品检验不通过,检验结束,剩下的产品不再检验.若抽取的2件产品有且仅有1件合格,则进行第二步工作.
第二步,从剩下的8件产品中再随机抽取1件,若不合格,则整箱产品检验不通过,检验结束,剩下的产品不再检验.若合格,则进行第三步工作.
第三步,从剩下的7件产品中随机抽取1件,若不合格,则整箱产品检验不通过,若合格,则整箱产品检验通过,检验结束,剩下的产品都不再检验.
假设某箱该产品中有8件合格品,2件次品.
(Ⅰ)求该箱产品被检验通过的概率;
(Ⅱ)若每件产品的检验费用为10元,设该箱产品的检验费用和检验不通过的损失费用之和为,求
的分布列和数学期望
.
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【题目】如图,已知椭圆的左顶点为
,过右焦点
的直线交椭圆于
,
两点,直线
,
分别交直线
于点
,
.
(1)试判断以线段为直径的圆是否过点
,并说明理由;
(2)记,
,
的斜率分别为
,
,
,证明:
,
,
成等差数列.
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【题目】下列命题正确的是( )
A.“”是“
”的必要不充分条件
B.对于命题:
,使得
,则
:
均有
C.若为假命题,则
,
均为假命题
D.命题“若,则
”的否命题为“若
,则
”
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【题目】如图,平行四边形所在平面与直角梯形
所在平面互相垂直,且
,
为
中点.
(1)求异面直线与
所成的角;
(2)求平面与平面
所成的二面角(锐角)的余弦值.
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【题目】已知+1(
)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则
在[﹣1,1]上的值域为
A. [﹣4,0] B. [﹣4,1] C. [﹣1,3] D. [﹣,12]
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