Question

20．整数p＞1．证明：当x＞-1且x≠0时，（1+x）^p＞1+px．

Answer 1

分析 方法一：用数学归纳法证明．
方法二：可构造函数f（x）=（1+x）^p-（1+px），求导数后利用函数的单调性求解；

解答 证明：方法一：用数学归纳法证明
①当p=2时，（1+x）²=1+2x+x²＞1+2x，原不等式（1+x）^p＞1+px成立，
②假设当p=k（k≥2，k∈N^*）不等式成立，
则当p=k+1是，（1+x）^k+1=（1+x）（1+x）^k＞（1+x）（1+kx）=1+（k+1）x+kx²
＞1+（k+1）x
所以p=k+1时，原不等式也成立，
综合  ①②可得，当x＞-1且x≠0时对一切整数p＞1，不等式（1+x）^p＞1+px均成立，
方法二：令f（x）=（1+x）^p-（1+px），则f′（x）=p（1+x）^p-1-p=p[（1+x）^p-1-1]．
①当-1＜x＜0时，0＜1+x＜1，由p＞1知p-1＞0，∴（1+x）^p-1＜（1+x）⁰=1，
∴（1+x）^p-1-1＜0，即f′（x）＜0，
∴f（x）在（-1，0]上为减函数，
∴f（x）＞f（0）=（1+0）^p-（1+p×0）=0，即（1+x）^p-（1+px）＞0，
∴（1+x）^p＞1+px．
②当x＞0时，有1+x＞1，得（1+x）^p-1＞（1+x）⁰=1，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴f（x）＞f（0）=0，
∴（1+x）^p＞1+px．
综合①、②知，当x＞-1且x≠0时，都有（1+x）^p＞1+px，得证．

点评 本题考查了不等式的证明，长采用数学归纳法和构造函数法，属于中档题．