Question

12．已知函数$f（x）=\frac{{{x^2}+ax+b}}{e^x}$，若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴．
（1）求b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，令f′（1）=0，求出b的值即可；（2）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{{{x^2}+ax+b}}{e^x}$，
f′（x）=$\frac{{-x}^{2}-（a-2）x+（a-b）}{{e}^{x}}$，
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，
∴f′（1）=-1-（a-2）+a-b=0，
解得：b=1；
（2）由（1）得：f′（x）=$\frac{-[x+（a+1）]（x-1）}{{e}^{x}}$，
令f′（x）=0，解得：x=-a-1或x=1，
①-a-1＞1即a＜-2时，
令f′（x）＞0，解得：1＜x＜-a-1，令f′（x）＜0，解得：x＞-a-1或x＜1，
∴f（x）在（-∞，1）递减，在（1，-a-1）递增，在（-a-1，+∞）递减；
②-a-1=1即a=-2时，f′（x）≤0，f（x）在R递减；
③-a-1＜1即a＞-2时，
令f′（x）＞0，解得：-a-1＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1或x＜-a-1，
∴f（x）在（-∞，-a-1）递减，在（-a-1，1）递增，在（1，+∞）递减．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．