Question

2．如图，在三棱锥P-ABC中，△PAB是正三角形，在△ABC中，AB⊥BC，且D、E分别为AB、AC的中点．   
（1）求证：DE∥平面PBC；
（2）求异面直线AB与PE所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）推导出DE∥BC，由此能证明DE∥平面PBC．
（2）连接PD，推导出PD⊥AB，DE⊥AB，从而AB⊥平面PDE，进而AB⊥PE，由此能求出异面直线AB与PE所成角．

解答 证明：（1）在△ABC中，
∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE∥BC，
∵DE?平面PBC，BC?平面PBC，…（4分）
∴DE∥平面PBC．…（5分）
解：（2）连接PD，在正△PAB中，D为AB中点，∴PD⊥AB，…（7分）
∵AB⊥BC，DE∥BC，∴DE⊥AB，…（9分）
PD与DE是平面PDE内的两相交直线，
∴AB⊥平面PDE，…（10分）∴AB⊥PE，
故异面直线AB与PE所成角为90°．…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．