Question

14．已知函数f（x）=$\frac{{\sqrt{4x+5-{x^2}}}}{x+1}$的定义域为集合A，函数g（x）=lg（-x²+2x+m）的定义域为集合B．
（1）当m=3时，求集合A∩B；
（2）若A∩B={x|-1＜x＜4}，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）与g（x）的定义域，分别确定出A与B，找出两集合的交集即可；
（2）根据A与B的交集，确定出m的范围即可．

解答 解：（1）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}4x+5-{x^2}≥0\\ x+1≠0\end{array}\right.$，
解得：-1＜x≤5，即A={x|-1＜x≤5}，
当m=3时，则-x²+2x+3＞0，得B={x|-1＜x＜3}，
∴A∩B={x|-1＜x＜3}；
（2）∵A={x|-1＜x≤5}，B={x|-x²+2x+m＞0}，A∩B={x|-1＜x＜4}，
∴4为方程-x²+2x+m=0的根，
∴-4²+2×4+m=0，
解得：m=8，
此时B={x|-2＜x＜4}，符合题意．
则实数m=8．

点评 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．