Question

5．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴的两个端点与一个焦点构成直角三有形，且过点M（2，$\sqrt{2}$）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过点P（2，1）的直线与椭圆C交于两点A，B，求|PA|•|PB|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意画出图形，列出关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）设出过点P的直线的参数方程，与椭圆方程联立，化为关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系即可求得|PA|•|PB|的取值范围．

解答 解：（1）如图，由题意设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{b=c}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{2}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a²=8，b²=4．
∴椭圆方程为：$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$；
（2）设过点P的直线的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}}\right.（t为参数）$，
代入椭圆方程并整理得t²（cos²α+2sin²α）+4t（cocα+sinα）-2=0．
则${t_1}{t_2}=\frac{-2}{{{{cos}^2}α+2{{sin}^2}α}}$，
∴|PA||PB|=$\frac{2}{co{s}^{2}α+2si{n}^{2}α}=\frac{2}{1+si{n}^{2}α}$∈[1，2]．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查了椭圆的简单性质，训练了利用参数方程求解直线与椭圆的相交关系问题，是中档题．